Η αναξιότητα ως προϋπόθεση της αριστείας

Η αναξιότητα ως προϋπόθεση της αριστείας

Οι μαθητές και οι μαθήτριες των Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων θα υποχρεωθούν να υποστούν μια εξεταστική διαδικασία η οποία θα κρίνει την παραμονή τους ή όχι στο σχολείο που ήδη φοιτούσαν. Για όσους αποτύχουν η ετυμηγορία είναι άτεγκτη, θα υποστούν την μεγίστη των ποινών που προβλέπεται για ιδιάζουσες παραβατικές συμπεριφορές μαθητών, την αλλαγή σχολικού περιβάλλοντος. Ο διατυμπανιζόμενος στόχος αυτής της επιλογής είναι η αναζήτηση

Στο κείμενο που ακολουθεί δεν θα επιχειρηματολογήσω πάνω στα γενικότερα θέματα που εγείρει αυτή η επιλογή όπως η αντίληψη περί αριστείας και το υπόρρητο φασίζον περιεχόμενό της, την δυνατότητα εντοπισμού της αριστείας μέσα από μια σύντομη εξεταστική διαδικασία, το αναντίστοιχο του πειραματικού χαρακτήρα του σχολείου και του μη αντικειμενικού-τυχαίου δείγματος μαθητών, την αντισυνταγματικότητας της διάκρισης των σχολείων σε σχολεία αριστείας και σχολεία ‘’πλέμπας’’ (οι μαθητές φώναξαν έξω από το κοινοβούλιο: Θέλουμε άριστα σχολεία και όχι σχολεία αριστείας), τις επιπτώσεις στον ευαίσθητο ψυχισμό των μαθητών με την διάρρηξη των φιλικών σχέσεων λόγω του αναγκαστικού ¨εκπατρισμού¨ κάποιων απ΄ αυτούς και πολλά ακόμη. Θα επιχειρήσω να εξετάσω την αξιοπιστία της εξεταστικής διαδικασίας σχολιάζοντας κάποια από τα θέματα που ανήρτησε στο διαδίκτυο η Διοικούσα Επιτροπή Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων (Δ.Ε.Π.Π.Σ. ) ως ενδεικτικά της εξεταστικής δοκιμασίας με τη σημείωση ότι «Η ερευνητική προσπάθεια για τη βελτιστοποίηση των προτεινόμενων θεμάτων συνεχίζεται». Δηλαδή η Δ.Ε.Π.Π.Σ. αναγνωρίζει στον εαυτό της το προνόμιο της διαρκούς βελτίωσης αλλά απαιτεί από τους μαθητές να αποδειχθούν άριστοι άπαξ δια παντός!

Δεν θα επιμείνω στην ασάφεια και τον χαρακτήρα σύγχυσης κάποιων διατυπώσεων αλλά θα εστιάσω σε δυο από τα προτεινόμενα θέματα μαθηματικών με εμφανέστατα λάθη και καλλιέργεια στρεβλών μαθηματικών αντιλήψεων.

Στο πρώτο από αυτά, ένας ενοικιαστής ποδηλάτων χρεώνει τους πελάτες του σύμφωνα με τον ακόλουθο πίνακα

Ώρες ενοικίασης (x)

0

1

2

3

…

Χρέωση σε ευρώ (y)

15

15,5

16

…

Από τους εξεταζόμενους ζητείται να βρουν τον τύπο που παρέχει άμεσα τη χρέωση y ευρώ, για x ώρες ενοικίασης και να αιτιολογήσουν πώς βρήκαν τον τύπο.

Ξεπερνώντας την αρχική έκπληξη από το μέγεθος της επιχειρηματικής ευφυΐας του συγκεκριμένου ¨ποδηλατά¨ που πέτυχε, δεδομένου ότι σχεδόν όλοι έχουμε ενοικιάσει για 0 ώρες ποδήλατο, να χρεώσει όλους τους έλληνες (και όχι μόνο) με 15€ τουλάχιστον έκαστον, παρατηρούμε ότι το πρόβλημα ανάγεται σε μαθηματική γλώσσα στην εύρεση του γενικού τύπου μιας ακολουθίας από την γνώση πεπερασμένου πλήθους πρώτων όρων.

Η λύση που συνοδεύει το συγκεκριμένο θέμα είναι y=15+ 0,5* x

Όμως για τους έχοντες στοιχειώδη γνώση του θέματος, το πρόβλημα (που πέρα από το πεδίο των μαθηματικών αφορά και την επιστημολογική διερεύνηση άλλων επιστημών, π.χ. φυσική) μπορεί να δεχτεί άπειρες λύσεις. Ένα πρόχειρο αντιπαράδειγμα το αποδεικνύει εύκολα:

Έστω οι ακολουθίες αν και βν = αν - (ν-1)*(ν-2)*(ν-3)

Είναι προφανές ότι οι δυο αυτές ακολουθίες έχουν τους ίδιους τρεις πρώτους όρους (δεδομένου ότι το γινόμενο μηδενίζεται για αυτούς τους όρους) αλλά διαφορετικούς όλους τους υπόλοιπους. Βέβαια αν είχε ζητηθεί ο σχεδιασμός της γραφικής παράστασης των πρώτων όρων και είχε γίνει αναφορά στη γραμμικότητα της συνάρτησης το θέμα θα είχε εκλείψει. Όμως κάτι τέτοιο δεν έγινε.

Οι πιθανές δικαιολογήσεις ότι η λύση y=15+ 0,5*x είναι η προφανής ή ότι οι μαθητές της Γ΄ γυμνασίου δεν διαθέτουν τέτοια επάρκεια γνώσεων που να τους οδηγήσει σε άλλες επιλογές, δεν μπορεί να γίνουν αποδεκτές γιατί τα μαθηματικά δεν είναι η επιστήμη του προφανούς (ακριβώς το αντίθετο) και οι εξετάσεις δε μπορεί να επιβραβεύουν την έλλειψη αλλά την επάρκεια γνώσεων.

Πως θα βαθμολογηθεί ο μαθητής που θα έδινε την απάντηση ότι για τρεις ώρες ενοικίασης απαιτείται το ποσό των 3000016.5€ επειδή κατά την άποψη του ο γενικός τύπος χρεώσεων είναι ο y=15+ 0,5*x + x *( x -1)*( x -2)*500000 ο όποιος ανταποκρίνεται απολύτως στα δεδομένα του προηγούμενου πινάκα; Και για όσους ακολουθήσουν το προφανές εμπεδώνοντας μια στρεβλή αντίληψη σε ποια (εξεταστική;) διαδικασία θα την ανατάξουν;

Στο δεύτερο θέμα δίνεται το στερεό του Σχήματος 1 που έχει δημιουργηθεί από συγκόλληση ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων και ζητείται να χωριστεί σε τρία μέρη (δηλαδή όχι οπωσδήποτε παραλληλεπίπεδα) και να επανασυγκολληθεί έτσι ώστε να δημιουργηθεί ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο το οποίο να έχει τον ίδιο όγκο με το αρχικό στερεό (!!!), να βρεθούν οι διαστάσεις του, το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας και του όγκου του.

Σχήμα 1

Εδώ βρισκόμαστε πάλι μπροστά στην εκπληκτική παρανόηση κατά την οποία ένα στερεό όταν τεμαχίζεται και ανασυντίθεται, είναι πιθανό να μεταβάλλει τον όγκο του. Προφανώς οι χωρικές αντιλήψεις των μελών της Δ.Ε.Π.Π.Σ. είναι επηρεασμένες από τα χολιγουντιανά TRANSFORMERS όπου μεταμορφώσεις με ταυτόχρονη μεταβολή όγκου αποτελούν κοινοτυπία.

Προτεινόμενη λύση (η οποία παρουσιάζεται και ως μοναδική) είναι αυτή που παρουσιάζεται στο Σχήμα 2

Σχήμα 2

Βέβαια με μια πρόχειρη ματιά μπορεί κανείς να εντοπίσει μια δεύτερη λύση (Σχήμα 3)και με λίγη επιπλέον προσπάθεια μια τρίτη (Σχήμα 4)

Είναι ενδιαφέρον ότι η πρώτη λύση είναι μονοδιάστατη, η δεύτερη δισδιάστατη και η τρίτη τρισδιάστατη, το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας (α. 26x2, β. 22 x2, γ. 20 x2) μειώνεται επειδή κινούμαστε σε λιγότερο εκτεταμένα σχήματα σταθερού όγκου και βεβαίως από την πρώτη στην τρίτη λύση απαιτείται συνθετότερη σκέψη και πιο ανεπτυγμένη χωρική αντίληψη.

Πως λοιπόν θα αξιολογηθεί ο μαθητής που θα προτείνει κάποια λύση διαφορετική από την προτεινόμενη ή παραθέσει και τις τρεις; Μπορούν να θεωρηθούν όλες οι λύσεις βαθμολογικά ισοδύναμες; Η αποκλίνουσα σκέψη και η δημιουργική φαντασία κάποιων μαθητών θα επιβραβευτεί ή αντιθέτως θα τιμωρηθεί;

Δεν μπορώ να τους κατηγορήσω τους αρμοδίους της Δ.Ε.Π.Π.Σ. ότι αδιαφόρησαν για τα προηγούμενα ερωτήματα γιατί φοβάμαι ότι δεν τα διανοήθηκαν καν. Φυσικά καθένας έχει δικαίωμα στο λάθος! Καθένας εκτός από εκείνους που υπηρετούν και υπερασπίζονται το ιδεολόγημα της αριστείας.

Κύριοι της Δ.Ε.Π.Π.Σ μετρηθήκατε, ζυγιστήκατε, με τα δικά σας μέτρα και σταθμά και βρεθήκατε ελλιπείς (εξ ου και ο τίτλος του άρθρου) και δεν έχω άλλο από το να σας απευθύνω το ρητό που, κάτω από τον θυρεό της εποχής, κοσμούσε την είσοδο του Δημοτικού Σχολείου που ήμουν μαθητής:

«ΑΙΕΝ ΑΡΙΣΤΕΥΕΙΝ»

Δημήτρης Δουλτσίνος

Αρχιτέκτονας- Μαθηματικός