Εσείς μπορείτε να δώσετε λύση στο παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης;

Οι περισσότεροι από εσάς βρίσκεστε σε κάποια παραλία και απολαμβάνετε την θάλασσα. Εμείς θέλουμε να σας κάνουμε να σκεφτείτε και αν μπορείτε να δώσετε λύση στο πιο κάτω παράδοξο.

Κάποιος σας προτείνει να παίξετε ένα παιχνίδι τύχης με τους εξής όρους: Θα ρίχνετε συνεχώς ένα νόμισμα μέχρι αυτό να φέρει για πρώτη φορά Κορώνα. Αν αυτό συμβεί με την πρώτη σας προσπάθεια θα σας δώσει 2 ευρώ και το παιχνίδι θα τελειώσει. Αν συμβεί με τη δεύτερη προσπάθειά σας θα σας δώσει 4 ευρώ. Αν συμβεί με την τρίτη θα σας δώσει 8 ευρώ και γενικά όσο περισσότερο καθυστερεί η εμφάνιση της πρώτης Κορώνας, τόσο αυτός θα διπλασιάζει το ποσό που θα κερδίσετε. Το ερώτημα είναι ποιο είναι το μέγιστο ποσό που διατίθεστε να πληρώσετε σαν εισιτήριο για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι;
Ας προσπαθήσουμε να δώσουμε μια μαθηματική απάντηση στο πρόβλημα στην περίπτωση που ο διοργανωτής σας έλεγε πως θα ρίξετε το νόμισμα μία φορά και αν δεν φέρετε Κορώνα δεν θα πάρετε τίποτα. Τότε το αναμενόμενο κέρδος σας θα ήταν:
1/2 * 2 ευρώ + 1/2 * 0 ευρώ = 1 ευρώ και άρα μέχρι 1 ευρώ θα σας συνέφερε να πληρώσετε σαν εισιτήριο για να παίξετε.
Αν ο διοργανωτής σας έλεγε πως θα ρίξετε το νόμισμα μέχρι δύο φορές το πολύ και αν δεν φέρετε Κορώνα μέχρι τότε δεν θα πάρετε τίποτα, τότε το αναμενόμενο κέρδος σας θα ήταν:
1/2 * 2 ευρώ + 1/2 * (1/2 * 4 ευρώ + 1/2 * 0 ευρώ) = 2 ευρώ και άρα μέχρι 2 ευρώ θα σας συνέφερε να πληρώσετε σαν εισιτήριο για να παίξετε.
Γενικεύοντας, γίνεται φανερό πως αν ο διοργανωτής σας έλεγε πως θα ρίξετε το νόμισμα μέχρι Ν φορές το πολύ, τότε θα σας συνέφερε να πληρώσετε μέχρι Ν ευρώ για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι.
Στην πραγματική περίπτωση ο διοργανωτής δεν έθεσε περιορισμό για το μέχρι πόσες φορές μπορείτε να ρίξετε το νόμισμα και αυτό εξαρτάται μόνο από το πότε θα έρθει η πρώτη Κορώνα. Επειδή η πρώτη Κορώνα μπορεί να καθυστερήσει απεριόριστες επαναλήψεις να εμφανισθεί, προκύπτει πως σαν συμφέρει να πληρώσετε ένα απεριόριστα μεγάλο ποσό για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι.
Παρ' όλ' αυτά, είναι απίθανο κάποιος να δεχτεί να πληρώσει περισσότερα από 10 ευρώ περίπου για να παίξει. Που νομίζετε ότι οφείλεται αυτή η τεράστια διαφορά μεταξύ του μαθηματικού υπολογισμού και της ανθρώπινης διαίσθησης;

"ΔΕΙΤΕ ΤΗΝ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΠΑΤΩΝΤΑΣ ΕΔΩ:"